Andragradsekvationer

Andragradsekvationer är väldigt vanliga ekvationer inom matematiken och kan användas i allt från statistik och ekonomi till fysik och kemi. Därför är det viktigt att du förstår hur de fungerar och hur du går tillväga för att lösa dem.

I den här guiden hanterar vi några speciella typer av andragradsekvationer och går igenom olika exempel för att se hur vi löser dem.

Vad är en andragradsekvation?

En andragradsekvation är en matematisk ekvation där variabeln x är upphöjd till 2 och alltså multipliceras med sig själv. Detta kan se ut på olika sätt till exempel $x^2 = 7$ och $(x+5)*x = 3$ . Den generella formen för andragradsekvationer är:

ax^2 + bx + c = 0

Det grundläggande verktyget för andragradsekvationer är kvadratroten, som fungerar som motsatsen till att kvadrera.

A, b och c i andragradsekvationen är konstanter och x är variabeln. Det är också viktigt att a inte är lika med noll, a≠0. Hade a varit lika med noll hade $ax^2$ också blivit noll och vi hade inte längre haft en andragradsekvation, eftersom att $x^2$ hade försvunnit. Att b eller c är lika med noll gör däremot inget.

Hur löser man andragradsekvationer?

Först kan det vara bra att definiera vad vi menar när vi säger “lösa en andragradsekvation”. Jo, vi vill då hitta för vilka värden på x som uttrycket $ax^2 + bx + c$ är lika med noll. När det kommer till just andragradsekvationer finns det ofta flera reella lösningar. Längre ner på sidan går vi in på det närmre.

För att lösa en andragradsekvation finns det olika metoder du kan använda. Det grundläggande verktyget är kvadratroten, som fungerar som motsatsen till att kvadrera. Andra vanliga metoder är till exempel nollproduktmetoden och kvadratkomplettering. Vi kollar på några olika exempel.

Exempel: Lös ekvationen $x^2 = 9$

Svar: $x_1 = 3 , \; x_2 = -3$

Förklaring: Vi söker ett tal som gånger sig själv blir 9. Det finns en väldigt användbar funktion som reder ut detta, som kallas kvadratroten! Kvadratroten av $x$ skrivs som $\sqrt{x}$ , och har den värdefulla egenskapen att $\sqrt{x^2} = x$ , alltså att om man har $x^2$ så kan man ta kvadratroten för att få fram x. Om vi tar roten ur båda sidorna får vi alltså:

\sqrt{x^2} = \sqrt{9}

x = \sqrt{9}

Vi kan få fram vad $\sqrt{9}$ är genom att knappa in det i miniräknaren, och då får vi att $\sqrt{9} = 3$ . Detta stämmer överens med multiplikationstabellen, som säger att $3 \cdot 3 = 9$ , vilket är det ekvationen frågar efter! 3 är alltså en lösning. Eftersom minus gånger minus blir plus, är även $(-3) \cdot (-3) = 9$ . Alltså är även -3 en lösning.

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Exempel: Lös ekvationen $x^2 = 324$

Svar: $x_1 = 18 ,\; x_2 = -18$

Förklaring: För att göra om $x^2$ till $x$ så vill vi beräkna roten ur. Eftersom att vi alltid måste göra samma sak i båda leden, så vi tar roten ur båda sidorna av ekvationen:

\sqrt{x^2} = \sqrt{324}

Vi kan nu förenkla vänsterledet.

x = \sqrt{324}

Knappar vi in högerledet i miniräknaren får vi

x = 18

vilket är vår första lösning. Precis som i förra exemplet får vi en till negativ lösning när vi tar kvadratroten:

\sqrt{x^2} = - \sqrt{324}

x = -\sqrt{324}

x = -18

vilket är vår andra lösning.

Exempel: Lös ekvationen $x^2 - 16 = 105$

Svar: $x_1 = 11,\; x_2 = -11$

Förklaring: Här måste vi först isolera $x^2$ innan vi kan ta kvadratroten. Vi gör det genom att addera 16 på båda sidor:

x^2 - 16 + 16 = 105 + 16

x^2 = 121

Vi kan nu ta kvadratroten ur båda sidor. Som vanligt kommer vi få två reella lösningar – en positiv, och en negativ. Om man vill behandla båda lösningarna på samma gång kan man använda plus-minus-tecknet $\pm$ . Det tecknet står för att den kan vara både plus och minus. Då får vi alltså

\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{121}

Vi förenklar vänsterledet.

x = \pm \sqrt{121}

Vi förenklar högerledet.

x = \pm 11

Plus-minus-tecknet kan vara antingen plus eller minus. Vi får då att de två lösningarna är:

x_1 = 11

x_2 = -11

Exempel: $x^2 + 10 = 42$

Svar: $x_1 = \sqrt {32}, \; x_2 = - \sqrt{32}$

Förklaring: Även i detta exempel måste vi isolera $x^2$ , vilket vi gör genom att subtrahera 10 från båda led:

x^2 + 10 - 10 = 42 - 10

x^2 = 32

Vi kan nu ta kvadratroten ur båda sidor. Kom ihåg att vi både får en positiv och en negativ lösning.

\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{32}

Förenkla vänsterledet

x = \pm \sqrt{32}

Knappar man in $\sqrt{32}$ i miniräknaren så får man att det inte blir ett heltal. Vanligt inom matematik är att man då behåller det på formen $\sqrt{32}$ så att man inte behöver avrunda. $\sqrt{32}$ kallas för ”exakt form” av talet. Alltså blir våra reella lösningar:

x_1 = \sqrt{32}

x_2 = -\sqrt{32}

Fredriks tips

Så identifierar du andragradsekvationer

Att identifiera andragradsekvationer kan vara en utmaning eftersom att de inte alltid presenteras i den vanliga formen $ax^2 + bx + c = 0$ . Det är viktigt att vara uppmärksam när du ser $x^2$ i ekvationer och att notera om det finns fler än en term med x. En sådan ekvation kan se annorlunda ut, som exemplet $(x+5)*x = 3$ . Det går dock att omvandla den till standardformen för andragradsekvationer genom att multiplicera ut parentesen och ordna termerna. Vi får då $x^2 + 5x = 3$ . Genom att subtrahera 3 från båda led får du till slut $x^2 + 5x - 3 = 0$ , vilket vi känner igen som en andragradsekvation.

Andragradsekvationer kan vara komplexa att lösa, men oroa dig inte! Våra coacher kan erbjuda studiehjälp för att hjälpa dig bemästra dessa ekvationer snabbt och effektivt. Med en studiecoach som delar med sig av rätt studieteknik och tips för att öka motivationen kommer du snart att uppnå toppresultat i dina matematikkurser.

Läs mer här!