Integral

Räkneexempel och förklaringar för integraler

Exempel: \int_0^6 (x-2) dx

Svar: 6

Förklaring: När man vill beräkna en integral av en funktion, så måste man först hitta den primitiva funktionen till integralen! I det här fallet har vi funktionen f(x) = x-2 som vi vill hitta den primitiva funktionen på. Vi kan använda regeln att g(x) = x^a \implies G(x) = \frac{x^{a+1}}{a+1}

Detta ger att vår funktion har den primitiva funktionen F(x) = \frac{x^2}{2} - 2x.

Bra! Nu behöver vi veta vad vi ska stoppa in för värden i den primitiva funktionen. Vi har ju att \int_a^b f(x) = F(b) - F(a) så det vi måste göra nu är att identifiera a och b. Den nedre gränsen av integralen är a, vilket i uppgiften är 0, så vi har att a = 0. Integralens övre gräns är b, vilket i uppgiften är 6.

Alltså har vi b=6. Kvar är nu bara att stoppa in dessa i den primitiva funktionen: F(b) = F(6) =  \frac{6^2}{2} - 2 \cdot 6.

Vi börjar med att förenkla första termen:

\frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18.

Vi förenklar nu andra termen:

2 \cdot 6 = 12

Så F(b) är alltså F(6) = 18 - 12 = 6.

Nu behöver vi hitta F(a): F(a) = F(0) = \frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0.

Båda termerna här blir ju 0! Alltså har vi att F(a) = F(0) = 0.

Därför blir F(b) - F(a) = 6 - 0 = 6 vilket är svaret!

Exempel: Beräkna den markerade arean i figuren

Svar: \frac{1}{6}

Förklaring: Vi vill beräkna arean mellan kurvan av en funktion och x-axeln. Det här är ett utmärkt användningsområde för integraler! Vi har att den allmänna formen \int_a^b f(x) dx beräknar arean mellan kurvan f(x) och x-axeln, mellan x-värdena x=a och x=b.

I det här fallet så har vi att arean är mellan x=1 och x=2, så var den undre gränsen på integralen a=1 och den övre gränsen b=2. Med funktionen enligt figuren vill vi alltså beräkna \int_1^2 \frac{x^2}{2}dx.

Vi behöver nu hitta den primitiva funktionen, vilket vi kan göra med regeln g(x) = x^a \implies G(x) = \frac{x^{a+1}}{a+1} så vi får att den primitiva funktionen är F(x) = \frac{x^3}{3}/2 = \frac{x^3}{6}.

Vi kan nu stoppa in a och b i den primitiva funktionen:

F(b) = F(2) = \frac{2^3}{6} = \frac{8}{6} och F(a) = F(1) = \frac{1^3}{6} = \frac{1}{6}

Så den sökta arean blir \int_1^2 \frac{x^2}{2}dx = F(2) - F(1) = \frac{8}{6} - \frac{1}{6} = \frac{7}{6}

---

Exempel: Beräkna den markerade arean i figuren

Svar: 2,35

Förklaring: Vi vill beräkna arean, så vi ska igen beräkna en integral! För att göra det behöver vi ta reda på den primitiva funktionen till f(x) = e^x, som det finns en regel för som säger F(x) = e^x

Vi behöver också ta reda på a och b. Den undre gränsen ser vi från bilden är a=-1, och den övre gränsen är b=1. Vi får då att arean är lika med \int_{-1}^1 e^x dx = F(1) - F(-1)

Vi har att F(1) = e^1 = e och F(-1) = e^{-1}

Så arean mellan kurvan och x-axeln är F(1) - F(-1) = e - e^{-1}

Vi kan såklart knappa in det i räknaren också, så får vi att arean är e - e^{-1} \approx 2,35