Potenslagar

Vad är potenser?

Potenser är ett vanligt verktyg inom inom matematiken som vi även kan kalla ”upphöjt till”. Potenser hjälper oss förenkla uttryck som annars hade blivit mycket långa och besvärliga att läsa. 

Man kan jämföra potenser med multiplikationens roll, där multiplikation fungerar som upprepad addition. På samma sätt är potensräkning en förkortning för upprepad multiplikation. Till exempel blir det väldigt omständigt att behöva skriva 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10… hundra gånger, istället kan vi skriva 10^{100} för att förmedla samma sak! Potenser berättar alltså för oss hur många gånger vi multiplicerar basen med sig självt.

Relaterat: Här hittar du mer om grundpotensform!

Vad är potenslagar?

Potenslagar används för att förenkla och utföra beräkningar som involverar potenser. Dessa lagar fastställer specifika samband och egenskaper som gäller för exponentiella uttryck och kort och gott gör det möjligt att enklare manipulera och förenkla potensformuleringar.

Vilka potenslagar finns det?

Potenser med samma bas
x^a \cdot x^b = x^{a+b}	Multiplicera potenser
\frac{x^a} {x^b} = x^{a-b}	Dividera potenser
(x^a)^b = x^{a \cdot b}	Potenslagen för en potens
Olika bas med samma potens
x^a \cdot y^a = ( x \cdot y )^a	Potenslagen för en produkt
\frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right )^a	Potenslagen för en kvot
Övriga lagar
x^0 = 1	När potensen är lika med noll
x^{-a} = \frac{1}{x^a}	När potensen är negativ

---

Räkneexempel för potenslagar

Exempel: Förenkla uttrycket x^4 \cdot x^6

Svar: x^{10}

Förklaring: Uttrycket består av två stycken delar på formen x^a, som är multiplicerade. Då kan man använda potenslagen x^a \cdot x^b = x^{a+b}

a och b är alltså exponenterna för vardera del av uttrycket, så i det här fallet har vi a=4 och b=6. Stoppar vi in det i potenslagen får vi x^6 \cdot x^4 = x^{6+4}

Vi kan nu utföra additionen som finns i exponenten:

x^{6+4} = x^{10}

Så svaret är x^{10}.

---

Exempel: Förenkla uttrycket (2^z)^7

Svar: 2^{7z}

Förklaring: Här har vi ett uttryck på formen (x^a)^b

Vi identifierar nu att inuti parentesen har vi basen x=2 och exponenten a=z, medan utanför parentesen så har vi exponenten b=7. Vi kan nu använda potenslagen (x^a)^b = x^{a \cdot b} vilket ger oss att (2^z)^7 = 2^{z \cdot 7}.

Alltså är svaret 2^{7z}.

Exempel: Förenkla uttrycket \frac{8^a}{4^a}

Svar: 2^a

Förklaring: Vi har två tal delade med varandra, där båda talen har samma exponent. Då kan vi använda potensregeln \frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right )^a.

I det här fallet så har vi att täljarens bas är x=8, medan nämnarens bas är y=4. Vi stoppar in det i potensregeln och får \frac{8^a}{4^a} = \left( \frac{8}{4} \right )^a.

Vi utför divisionen \frac{8}{4} = 2 så svaret blir \left( \frac{8}{4} \right )^a = 2^a.

---

Exempel: Förenkla uttrycket \frac{4^8 \cdot 3^8}{12^3}

Svar: 12^5

Förklaring: Denna uppgift är lite större än tidigare uppgifter, och kommer behöva lösas i flera steg. Det första man kanske lägger märke till är att vi i täljaren har en produkt av två tal med samma exponent! Det vill säga, täljaren, som är 4^8  \cdot 3^8 är på formen x^a \cdot y^a där vi har att a a=8, x=4 och y=3 

Då kan vi använda potenslagen x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a och får därför att 4^8  \cdot 3^8 = (4 \cdot 3)^8 = 12^8

Det här kan vi stoppa tillbaka i uttrycket i uppgiften och då får vi:

\frac{4^8 \cdot 3^8}{12^3} = \frac{12^8}{12^3}

Nu har vi ett uttryck där vi delar ett tal på ett annat, där båda talen har samma bas. Alltså kan vi använda potenslagen \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

Enligt potenslagen så är alltså a exponenten för talet i täljaren, medan b är exponenten för talet i nämnaren. i vårt fall har vi alltså a=8 och b=3. Vi har även att basen x=12. Stoppar vi in dessa värden i potenslagen så får vi:

\frac{12^8}{12^3} = 12^{8-3} = 12^5

Så svaret är 12^5!

---

Exempel: Förenkla x^5 \cdot x^{-5}

Svar: 1

Förklaring: Det finns två sätt som vi kan hantera den här uppgiften. Ett sätt är att använda potenslagen x^a \cdot x^b = x^{a+b}

Om vi identifierar att a=5 och b=-5 så får vi att x^5 \cdot x^-5 = x^{5 + (-5)} = x^0 eftersom 5 + (-5) = 0. Allt vi behöver göra nu är att notera att det finns en potenslag som säger att x^0 = 1 vilket alltså är svaret.

Det andra sättet att lösa den här uppgiften går ut på att vi märker att uttrycket x^5 \cdot x^{-5} består dels av x^{-5}, som gör att vi kan använda vi kan använda potenslagen x^{-a} = \frac{1}{x^a}

I det här fallet har vi a=5, så vi får att x^{-5} = \frac{1}{x^5}

Stoppar vi tillbaka detta i uppgiftens uttryck så får vi x^5 \cdot x^{-5} = x^5 \cdot \frac{1}{x^5}

Om vi kommer ihåg hur man multiplicerar med bråk så ser vi att detta kan förenklas till x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = \frac{x^5 \cdot 1}{x^5} = \frac{x^5}{x^5}

Men nu har vi x^5 delat med sig själv! Ett tal delat med sig själv är alltid 1, så vi får \frac{x^5}{x^5} = 1 vilket är svaret på frågan!