Ekvationer

Vad är en ekvation?

Tanken med ekvationer är att man har två uttryck lika med varandra. Eftersom man har satt uttrycken lika med varandra så stämmer bara ekvationen om de två uttrycken har samma värde. Så ekvationen 3 + 3 = 6 stämmer, men ekvationen 2 + 2 = 5 stämmer inte.

Ibland kan du se ekvationer som innehåller variabler, det vill säga bokstäver, ofta x eller y, som fungerar som en platshållare för ett annat tal. När vi talar om att lösa ekvationer är det ofta sådana ekvationer vi menar. Målet är att hitta de värden på variabeln som gör att likheten stämmer.

För att lösa en ekvation som till exempel 4 + x = 10 skulle vi alltså vilja veta för vilka värden på x som vänsterledet och högerledet är lika. Då kan vi skriva om ekvationen för att få x ensam på ena sidan av likamedtecknet. Genom att subtrahera fyra från båda sidor får vi 4 + x - 4 = 10 - 4, det vill säga x = 6. Alltså är lösningen på ekvationen x = 6.

Räkneexempel och förklaringar för ekvationer

Exempel: Stämmer ekvationen 5 \cdot 3 = 9 + 7?

Svar: Nej.

Förklaring: Ekvationen stämmer om vi har samma värde på båda sidor. Som ekvationen står just nu så är det inte helt uppenbart om de två sidorna har samma värde. Låt oss därför förenkla båda sidor. Vänstersidan kan beräknas som 5 \cdot 3 = 15.

Högersidan beräknas till 9 + 7 = 16.

Alltså kan ekvationen i uppgiften förenklas till 15 = 16.

Eftersom vi har olika värden på vänster och höger sida om likhetstecknet så stämmer alltså inte ekvationen.

Exempel: Vilka av talen x = 1, x=2 och x=3 löser ekvationen 5 \cdot x + 2 = 12?

Svar: x=2

Förklaring: För att lista ut vilka av alternativen så vill vi stoppa in de olika värdena i ekvationen. Om vi börjar med att sätta x=1 i ekvationen får vi 5 \cdot 1 + 2 = 12.

Vi kan nu förenkla den vänstra sidan av ekvationen med att 5 \cdot 1 = 5

5 + 2 = 12.

Om vi nu även utför additionen 5+2 = 7 så får vi att ekvationen blir 7 = 12.

Oj! Eftersom vi fick två olika saker på de två sidorna om likhetstecknet så har vi inte uppfyllt ekvationen. Alltså är inte x=1 en lösning till ekvationen.

Om vi istället testar att stoppa in x = 2 i ekvationen så har vi 5 \cdot 2 + 2 = 12.

Vi vill nu förenkla, så vi kan beräkna att 5 \cdot 2 = 10 vilket gör att ekvationen blir 10 + 2 = 12

Vi lägger nu ihop vänstersidan och får 12 = 12.

Den här gången fick vi samma på vänster sida som på höger sida! Det betyder att x=2 är en lösning till ekvationen.

Som princip kan ekvationer ha mer än en lösning. Låt oss därför också testa x = 3. Stoppar vi in det i ekvationen så får vi 5 \cdot 3 + 2 = 12.

För att se om det blir samma på höger och väsnter sida av ekvationen så vill vi förenkla. Vi beräknar då att  5 \cdot 3 = 15 vilket gör att ekvationen blir 15 + 2 = 12

Vi lägger nu ihop vänstersidan och får 17 = 12.

Nu har vi inte samma på båda sidor, så ekvationen är inte uppfylld. Alltså är inte x=3 en lösning på ekvationen.

---

Exempel: Är x=4 en lösning till ekvationen x \cdot x - 5 = 2 \cdot x + 3?

Svar: Ja.

Förklaring: Vi vill se om x=4 är en lösning till ekvationen. Med andra ord så vill vi se om ekvationen stämmer om x har värdet 4. För att kolla detta så byter vi ut x mot 4 överallt i ekvationen, och då blir ekvationen 4 \cdot 4 - 5 = 2 \cdot 4 + 3.

Nu har vi två uttryck och vi vill kolla om de har samma värde. Vi börjar med att förenkla vänstersidan:

4 \cdot 4 - 5 = 16 - 5 = 11

Så vänstersidan har värdet 11. Vi förenklar nu högersidan:

2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11.

Så högersidan är också 11. Alltså har vi att ekvationen förenklas till 11 = 11, vilket betyder att ekvationen stämmer! Alltså är x=4 en lösning till ekvationen.