Differentialekvationer

En differentialekvation är en ekvation där en variabel beror på sin egen derivata. Många gånger när man vill beskriva hur två variabler hänger ihop med varandra så vill man skapa en funktion. Men det är inte alltid uppenbart vad för sorts funktion man ska använda. Då kan det vara lättare att använda en differentialekvation för att beskriva funktionen. Differentialekvationer används därför till exempel av meteorologer för att förutspå vädret och ingenjörer för att bygga broar.

Ett exempel på en differentialekvation vore $f(x) = f'(x)$

Det här är en ekvation som med ord säger ”funktionen är lika med sin egen derivata”.

Räkneexempel och förklaringar för differentialekvationer:

Exempel: Visa att $f (x) = \cos x$ löser ekvationen

f''(x) = -f(x)

Förklaring: För att visa att $f (x) = \cos x$ löser differentialekvationen så vill vi stoppa in $\cos x$ i båda sidor av ekvationen. För att göra det på vänster sida av ekvationen så behöver vi först hitta $f''(x)$ för $f (x) = \cos x$ . Låt oss först ta fram förstaderivatan

f' (x) = -\sin x

Nu kan vi derivera igen för att få fram andraderivatan

f'' (x) = -\cos x

Nu kan vi i vänsterled stoppa in $f (x) = \cos x$ , och i högerled stoppa in $f'' (x) = -\cos x$ . Då får vi

- \cos x = - \cos x

Alltså ser vi att likheten stämmer och vi har på så sätt visat att $f (x) = \cos x$ är en lösning till differentialekvationen. Alltså är $\cos x$ en lösning till ekvationen.

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Exempel: Visa att $y(x) = x^2$ löser ekvationen

x \cdot y'(x) = 2 y(x)

Förklaring: Vi vill substituera $y(x)$ med $x^2$ på bägge sidor. På vänster sida har vi $y'(x)$ , så för att kunna substituera så måste vi hitta $y'(x)$ till funktionen $y = x^2$ . Vi tar alltså derivatan och får

y'(x) = 2x

Nu kan vi stoppa in $y(x) = x^2$ på vänster sida och $y'(x) = 2x$ på höger sida och då får vi

x \cdot (2x) = 2 (x^2)

Förenklar vi båda sidor så får vi:

2 x^2 = 2 x^2

Vi har samma sak på båda sidor, så lika med $y(x) = x^2$ är en lösning till differentialekvationen.

Exempel: För ett visst värde på k så löser funktionen $y(x) = e^{kx}$ ekvationen

y'(x) - 3 y(x) = 0

Hitta k!

Svar: 3

Förklaring: Funktionen är en lösning till ekvationen. Det betyder att om vi stoppar in funktionen i ekvationen så kommer ekvationen stämma. För att göra det så måste vi först ta fram derivatan:

y'(x) = k \cdot e^{kx}

Vi kan nu stoppa in $y(x)$ och $y'(x)$ i ekvationen:

k e^{kx} - 3 e^{kx} = 0

Frågan är nu för vilket värde på k den här ekvationen stämmer. En bra strategi i det här fallet kan vara att bryta ut $e^{kx}$ . Då får vi:

(k-3) e^{kx} = 0

Nu har vi en nollprodukt! Nollprodukter säger att antingen kommer $(k-3)$ vara 0 eller så kommer en $e^{kx}$ vara 0. Eftersom $e^{kx}$ aldrig kan vara noll vet vi alltså att: