Nollsummespel

Ett nollsummespel är ett koncept inom spelteori där summan av alla spelares resultat efter en omgång alltid är noll. Om det är två spelare så innebär det att, om ena spelaren vinner en viss mängd (t.ex. pengar), så förlorar den andra spelaren lika mycket.

Nollsummespel är ett centralt koncept inom spelteori och har applicerats på såväl ekonomi som biologi.

Räkneexempel och förklaringar för nollsummespel:

Låt oss studera ett simpelt exempel. Säg att vi har två personer som spelar sten sax påse, där den som förlorar måste ge den som vann 1 kr. Är detta ett nollsummespel?

För att undersöka detta så kan vi kolla på en förtjänstmatris. Det är alltså en tabell med båda spelarnas resultat för varje möjlig spelomgång. Den konstrueras genom att sätta ena spelarens möjliga val i rader och den andra spelarens val i kolumner:

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax
Påse

Om vi nu till exempel hamnar i en situation där spelare 1 väljer sax och spelare 2 väljer sten, så kommer spelare 1 bli av med en krona och spelare 2 kommer tjäna en krona. Man kan då skriva att resultatet är (-1, 1). Sätter vi in det i förtjänstmatrisen så får vi:

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax	-1, 1
Påse

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Om spelare 1 istället väljer påse men spelare 2 väljer sten, så kommer spelare 1 tjäna en krona och spelare 2 kommer bli av med en krona. Det skrivs då som (1, -1). Lägger vi in det i tabellen får vi:

Spelare 2Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax	-1, 1
Påse	1, -1

Som ett sista exempel, om båda spelarna väljer sax, så kommer ingen av dem varken tjäna eller bli av med någonting. Då får de resultatet (0,0).

Spelare 2Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax	-1, 1	0,0
Påse	1, -1

Om vi nu fyller i resten av cellerna i förtjänstmatrisen får vi:

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten	0, 0	1, -1	-1, 1
Sax	-1, 1	0,0	1, -1
Påse	1, -1	-1, 1	0, 0

Super! Nu kan vi undersöka om det här är ett nollsummespel. Ett nollsummespel är ett spel där alla utfall har en summa noll. Om vi kollar på t.ex. ställen där spelare ett väljer sten och spelar 2 väljer sax, så har vi resultatet (1, -1). Summan av de två talen är:

1 + (-1) = 0

Bra! Summan är alltså 0 för det utfallet. Faktum är att för varenda cell i matrisen så är summan av värdena i den cellen 0. Alltså är det ett nollsummespel.

Låt oss studera ett annat exempel. Säg att vi har en gameshow, där två personer ska spela sten sax påse mot varandra. Den som vinner sten sax påse vinner 1000 kr och den som förlorar går hem tomhänt! Om de spelar lika så får de båda ett tröstpris på 100 kr. Är det här ett nollsummespel?

För att lösa detta, låt oss igen göra en förtjänstmatris.

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax
Påse

Om vi nu till exempel har att spelare 1 väljer sax och spelare 2 väljer sten, så kommer spelare 1 gå hem tomhänt och spelare 2 kommer tjäna 1000 kronor. Man kan då skriva resultatet är (0, 1000). Sätter vi in det i förtjänstmatrisen så får vi:

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax	0, 1000
Påse

Om båda spelarna väljer sax, så kommer d båda få tröstpriset 100 kr. Då får de resultatet (100, 100).

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten
Sax	0, 1000	100, 100
Påse

Om vi nu fyller i resten av cellerna i förtjänstmatrisen får vi:

Spelare 2 \| Spelare 1	Sten	Sax	Påse
Sten	100, 100	1000, 0	0, 1000
Sax	0, 1000	100, 100	1000, 0
Påse	1000, 0	0, 1000	100, 100

Nu kan vi fråga oss, är det här ett nollsummespel? Jo, om vi kollar på cellen där spelare ett väljer sten och spelare 2 väljer sax så har vi resultatet (1000,0). Summan av resultatet är då:

1000 + 0 = 1000

Det är alltså inte 0! Ett nollsummespel är ett spel där alla celler har en summa noll, så eftersom vi har hittat en cell som inte har summa 0 så vet vi att det inte är ett nollsummespel. I just det här exemplet har ingen cell summa noll.