Venndiagram

Vad är ett venndiagram?

Venndiagram är fundamentalt i mängdlära då det tillåter oss att visualisera hur mängder hör ihop. Därifrån kan man även applicera venndiagram på till exempel kombinatorik och sannolikhetslära.

Vilka typer av venndiagram finns det?

Det finns olika typer av venndiagram. Låt oss kika på några av de vanligaste typerna!

Tvåmängdsdiagram: Den vanligaste typen av venndiagram består av två överlappande cirklar som representerar två mängder. Det gemensamma området där cirklarna överlappar visar de element som tillhör båda mängderna.

Trimmängdsdiagram: Tre överlappande cirklar som visar relationen mellan tre mängder. De olika överlappningsområdena representerar de kombinationer av element som tillhör olika kombinationer av mängderna.

Flermängdsdiagram: När man behöver visa relationer mellan fyra eller fler mängder används flermängdsdiagram. Dessa diagram kan ha komplexa överlappningsmönster med flera cirklar som representerar olika mängder och deras kombinationer.

Eulerdiagram: Eulerdiagram liknar venndiagram, men de använder kurvor och former istället för cirklar. Euler-diagram består av formade regioner som representerar olika mängder och deras överlappningar. De ger en mer flexibel form och layout än ett vanligt venndiagram.

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Räkneexempel och förklaringar för venndiagram:

Exempel: Låt A = \{ 1,3,5,7,9\} och B = \{ 3,4,5,6,7,8\} .

a) Rita ett venndiagram över mängderna!

Vi vill rita ett venndiagram. Då kan vi börja med att rita två överlappande cirklar, en cirkel som representerar A och en som representerar B:

Nu vill vi fylla de här cirklarna med talen i mängderna. Vi kan börja med att se på vilka tal som ska vara i området där cirklarna överlappar. Det är de tal som finns i både mängden A och mängden B, dvs 3, 5 och 7. Skriver vi in dessa så får vi

Nu vill vi fylla i resten av talen. I cirkeln som representerar A så har vi nu redan fyllt i 3, 5 och 7, så det är bara 1 och 9 som saknas. Då fyller vi i dem talen i cirkel A men inte i den del där cirklarna överlappar:

På samma sätt så saknar cirkel B talen 4, 6 och 8, så vi fyller i dem:

och så var vi klara! De vi kan kolla lite extra på är att cirkel A har exakt talen 1, 3, 5, 7 och 9, dvs exakt mängden A. Det är ju det viktiga med ett venndiagram! På samma sätt har cirkel B exakt de tal som är med i mängden B.

b) Markera unionen A \cup B i venndiagrammet!

I venndiagram så innebär A \cup B alla områden som A tar upp tillsammans med alla områden som B tar upp. Alltså får vi att A \cup B ser ut som

Härifrån kan vi även se att mängden A \cup B har medlemmarna A \cup B = \{ 1,3,4,5,6,7,8,9\} , eftersom alla de talen är täckta av markeringen.

c) Markera differensen A \setminus B i venndiagrammet!

I venndiagram så innebär A \setminus B de områden som täcks av A men inte av B. Med andra ord så är det hela A-cirkeln, förutom den del som överlappar med B. Därför får vi

Alltså har  A \setminus B medlemmarna  A \setminus B = \{ 1, 9 \} .

d) Markera snittet A \cap B i venndiagrammet!

I venndiagram så innebär A \cap B alla områden som tas upp av både A och B på samma gång. Med andra ord så är A \cap B området där A och B överlappar. Alltså får vi att A \cap B ser ut som

Alltså har  A \cap B medlemmarna  A \cap B = \{ 3, 5, 7\} .

Exempel: Låt A, B och C vara mängder

a) Markera A \cap B \cap C i ett venndiagram.

Vi kan lösa det här steg för steg. Låt oss börja med att rita tre överlappande cirklar, en för varje mängd. 

Låt oss nu först dela upp uppgiften som  (A \cap B) \cap C och först markera snittet A \cap B . Det är alltså de områden som tas upp av både A och B på samma gång. Då får vi

Nu vill vi hitta snittet mellan C och det markerade området A \cap B . Då får vi

Som är svaret!