Induktionsbevis

Ett induktionsbevis är ett bevis som t.ex kan användas för att visa att ett påstående gäller hos alla tal i en talföljd. Tanken bakom ett induktionsbevis är att visa att om ett påstående gäller för ett tal i talserien, så gäller det även för nästa tal i talserien. Om man också bevisar att det gäller för första talet, så är beviset färdigt.

Induktionsbevis har alltså tre steg:
1. Visa att påståendet gäller för $a_1$
2. Antag att påståendet gäller för något tal i talserien $a_n$
3. Visa att påståendet då måste gälla för nästa tal i talserien $a_{n+1}$

Räkneexempel och förklaringar för induktionsbevis:

Induktion är väldigt likt rekursion, som också handlar om att hänvisa till tidigare tal i tal serien.

Exempel: För talföljden

$a_{n+1} = a_n + 2$ , $a_1 = 3$

Visa att alla tal i talföljden uppfyller $a_n > 0$

Förklaring: Påståendet $a_n > 0$ är ju ganska uppenbart, eftersom talföljden börjar vid ett positivt tal $a_1 = 3$ , och för att komma vidare genom talföljden så adderar vi två om och om igen. Då kommer vi helt enkelt längre och längre ifrån de negativa talen! Men hur hur skriver man det här resonemanget som ett matematiskt bevis?

Grundidén med vårt resonemang är att om startat med ett positivt tal, och lägger till två, så blir resultatet ett positivt tal. Så om $a_n > 0$ , så får vi även att $a_{n+1} > 0$ , eftersom $a_{n+1} = a_n + 2$ . Det här är grunden till ett induktionsbevis. Låt oss gå igenom de tre stegen!

1. Visa att påståendet gäller för $a_1$

Vi har ju att $a_1 = 3$ , vilket definitivt uppfyller $a_1 > 0$ .

2. Antag att påståendet gäller för något tal i talserien $a_n$

Vi gör alltså hypotesen att $a_n > 0$ för något n

3. Visa att påståendet då måste gälla för nästa tal i talserien $a_{n+1}$

Under antagandet $a_n > 0$ så har vi $a_{n+1} = a_n + 2 > 0$ , så påståendet gäller för $a_{n+1}$ .

Och där var beviset klart! Det kanske inte känns helt intuitivt att det där var hela beviset, men induktionsbeviset är faktiskt samma resonemang som resonemanget vi började med (fast lite mer rigoröst). Steg 2 i beviset säger “om vi redan är på ett positivt tal”, och steg tre säger “och lägger till 2, så får vi ett positivt tal”.

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Exempel: För talföljden

$a_{n+1} = a_n + 3$ , $a_1 = 1$

Visa att alla tal i talföljden uppfyller $a_n = 3n - 2$

Förklaring: Vi använder de tre stegen.

1. Visa att påståendet gäller för $a_1$

Vi har påståendet $a_n = 3n - 2$ och vill visa att det gäller för $a_1$ . Vi stoppar alltså in $n=1$ i påståendet och får

$a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ , vilket är det korrekta $a_1$ enligt uppgiften.

Påståendet gäller för $a_1$ .

2. Antag att påståendet gäller för något tal i talserien $a_n$

Vi gör alltså hypotesen att talföljden uppfyller $a_n = 3n - 2$

3. Visa att påståendet då måste gälla för nästa tal i talserien $a_{n+1}$

Stoppar vi in $n+1$ istället för $n$ i påståendet $a_n = 3n - 2$ så får vi

$a_{n+1} = 3(n+1) - 2$ .

Vi vill alltså visa att $a_{n+1} = 3(n+1) - 2$ med hjälp av antagandet i steg 2. Går vi tillbaka till definitionen för vår talföljd $a_{n+1} = a_n + 3$ och stoppar in antagandet vi gjorde i steg 2 $a_n = 3n - 2$ så får vi