Avståndsformeln

Räkneexempel och förklaringar för avståndsformeln:

Exempel 1: Vad är avståndet mellan punkten (1,2) och punkten (7, 4)?

Svar: 13

Förklaring: För att hitta avståndet så vill vi använda avståndsformeln. För att kunna använda avståndsformeln så måste vi veta vad x_1, x_2, y_1 och y_2 är. Då kollar vi först på den ena punkten, som har koordinaterna:

(x_1, y_1) = (1,2)

Alltså har vi x_1 = 1 och y_1 = 2 . Om vi stoppar in dem i avståndsformeln så får vi:

d = \sqrt{(x_2 - 1)^2 + (y_2 - 2)^2}

Sedan kollar vi på den andra punkten som har koordinaterna:

(x_2, y_2) = (13, 7)

Alltså har vi  x_2 = 13 och y_2 = 7. Vi kan nu också stoppa in dem i avståndsformeln:

d = \sqrt{(13 - 1)^2 + (7 - 2)^2}

Vi är nu redo att räkna ut vad avståndet blir. Vi börjar med att förenkla parenteserna:

(13 - 1) = 12, \qquad (7-2) = 5

Då kan vi skriva om uttrycket för avståndet d till:

d = \sqrt{12^2 + 5^2}

Sedan så tar vi:

12^2 + 5^2 =  144 + 25 = 169

Så att avståndet är:

d = \sqrt{169}

Och så till sist vill vi beräkna roten ur, och då får vi:

d = 13

Vilket är svaret!

Exempel 2: Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet:

Svar: 5

Förklaring: För att kunna använda avståndsformeln så måste vi först veta vad punkterna har för koordinater. Den gröna punkten har ett x-värde på x_1 = -2 och ett y-värde på y_1 = 1. Den blå punkten har ett x värde på x_2 = 2 och ett y-värde på y_2 = 4. Stoppar vi in dessa i avståndsformeln så får vi:

d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - 1)^2}

Vi vill nu förenkla det här, och vi börjar med att utföra beräkningarna inuti parenteserna:

d = \sqrt{4^2 + 3^2}

Sedan fortsätter vi genom att utföra upphöjt till två:

d = \sqrt{16 + 9}

Sedan lägger vi ihop talen inuti roten ur tecknet:

d = \sqrt{25}

Och till sist tar vi roten ur:

d = 5

Så svaret är 5.