Konjugatregeln

Konjugatregeln är en algebraisk regel för att för att förenkla uttryck på formen $(a+b) \cdot (a-b)$ . Sådana uttryck visar sig vara ganska vanliga, så konjugatregeln är rätt användbar!

Vad är konjugatregeln?

Konjugatregeln används främst vid multiplikation och division av komplexa tal. Genom att multiplicera eller dividera ett komplext tal med dess konjugat kan man avlägsna de imaginära termerna och erhålla en reell uttrycksterm. Detta förenklar beräkningar och manipulation av uttryck som innehåller komplexa tal!

Den allmänna formen på konjugatregeln är:

(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2

Eftersom vänsterledet har en kombination av plus och minus kan det ibland vara lite klurigt att lista ut vad som är a och vad som är b i ett givet uttryck. Det man får komma ihåg är att för att använda konjugatregeln ska ena talet ha samma tecken i båda parenteser (a), och det andra talet ska ha olika tecken i de två parenteserna (b).

Räkneexempel och förklaringar för konjugatregeln

Exempel: Beräkna $(7+3)(7-3)$ med konjugatregeln

Svar: 40

Förklaring: Eftersom vi vill använda konjugatregeln, så måste vi lista ut vad a och b är i uttrycket. I konjugatregeln är b det tal som har ett minustecken framför sig i en av parenteserna. I det här fallet är alltså b = 3, för 3:an har ett minustecken i den andra parentesen i vårt uttryck. Vi finner också att a = 7. Stoppar vi in det i konjugatregeln får vi

(7+3)(7-3) = 7^2 - 3^2

Vi har att

7^2 = 49

och

3^2 = 9

så

(7+3)(7-3) = 49 - 9

(7+3)(7-3) = 40

Lägg märke till att man också kan beräkna uttrycket genom att först utföra summan och skillnaden inuti parenteserna:

(7+3)(7-3) = 10 \cdot 4 = 40

Så vi vet att vi fick rätt svar!

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Exempel: Beräkna $(5-4)(5+4)$ med konjugatregeln

Svar: 9

Förklaring: Den här är inte riktigt på samma form som konjugatregeln, eftersom minustecknet är i första parentes här istället för andra. Men när man tar gånger så kan man byta plats på talen man multiplicerar, det vill säga $a \cdot b = b \cdot a$ . Därför får vi:

(5-4)(5+4) = (5+4)(5-4)

Nu har vi samma form som konjugatregeln! Vi ser att minustecknet är framför 4:n, så vi har b = 4. Vi har då också a = 5. När vi stoppar in det i konjugatregeln får vi

(5-4)(5+4) = 5^2 - 4^2

Vi har att

5^2 = 25

och

4^2 = 16

så

(5-4)(5+4) = 25 - 16

(5-4)(5+4) = 9

Exempel: Beräkna $(3-2)(-3-2)$ med konjugatregeln

Svar: -5

Förklaring: Här får man se upp lite! Båda talen har minustecken i någon av parenteserna, så det kan vara lockande att till exempel sätta b = -2. Det man måste komma ihåg är att b byter tecken från första parentesen till andra; det är +b i ena parentesen och -b i den andra parentesen. I det här fallet är det 3:an som har olika tecken i de två parenteserna, så vi får b = 3. Vi får då att a = -2, där vi lägger märke till att a blev negativ. Vi stoppar in det i konjugatregeln och får:

(3-2)(-3-2) = (-2)^2 - 3^2

Vi har

(-2)^4 = 4

och

3^2 = 9

så

(3-2)(-3-2) = 4 - 9

(3-2)(-3-2) = -5

Exempel: Beräkna $(x+6)(x-6)$ med konjugatregeln

Svar: $x^2 - 36$

Förklaring: Vi vill igen identifiera vad som är a och vad som är b. I det här fallet är 6 det som är plus i ena parentesen och minus i den andra. Vi får alltså b = 6, a = x. Med konjugatregeln så får vi:

(x+6)(x-6) = x^2 - 6^2

Vi har att

6^2 = 36

så

(x+6)(x-6) = x^2 - 36

Exempel: Beräkna $(2x - x^2)(2x + x^2)$ med konjugatregeln

Svar: $4x^2 - x^4$

Förklaring: Första steget är som vanligt att identifiera vad som är a och vad som är b. I det här fallet är har vi att det är $x^2$ som har olika tecken i de två parenteserna. Vi har alltså $b = x^2[latex], [latex]a = 2x$ . Stoppar vi in det i konjugatregel får vi: