Kvadratkomplettering

Räkneexempel och förklaringar

För att kunna använda kvadratkomplettering smidigare så kan vi skriva ner en kvadreringsregel:

(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2.

Låt oss se med ett  exempel hur det kan användas för att lösa en andragradsekvation!

---

Exempel: Lös ekvationen x^2 + 2x + 1 = 4 .

Från kvadreringsregeln så kan man se att (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

Men högerledet från kvadreringsregeln är ju samma som vänsterledet i ekvationen vi försöker lösa! Därför kan vi byta ut den delen av ekvationen med vänsterledet i kvadreringsregeln:

(x+1)^2 = 4

Nu är ekvationen lättare att lösa! Vi kan ta kvadratroten ur båda sidor \sqrt{(x+1)^2} = \pm \sqrt{4}

Förenklar vi båda sidor får vi x+1 = \pm 2

Och till sist kan vi subtrahera 1 från båda sidor för att flytta över ettan: x = - 1 \pm 2 och lösningarna är alltså x_1 = 1 , x_2 = -3

Det var ett exempel där vänstersidan av ekvationen redan var på formen i kvadreringsregeln. Men vad händer om den inte är det?

Exempel: Lös ekvationen x^2 + 6x + 5 = 0.

Låt oss kolla på vad kvadreringsregeln ger då a=3:

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

Nu ser vi att högersidan av kvadreringsregeln inte riktigt stämmer överens med vänstersidan av ekvationen. I båda har vi x^2 och även 6x, men i kvadreringsregeln har vi den konstanta termen 9 medan ekvationen har vi 5. Det vore ju väldigt fiffigt om det stod 9 istället för 5 i ekvationen, eftersom vi då kan använda kvadreringsregeln baklänges. För att uppnå detta lägger vi till 4 på båda sidor om ekvationen:

x^2 + 6x + 5 + 4 = 0 + 4

vilket förenklas till x^2 + 6x + 9 = 4

Nu har vi att vänstersidan av ekvationen är exakt samma som i kvadreringsregeln, och vi kan alltså stoppa in vänstersidan av kvadreringsregeln i ekvationen:

(x+3)^2 = 4

Härifrån kan vi använda våra ekvationslösningsfärdigheter! Vi tar roten ur båda sidor

x + 3 = \pm 2 x = -3 \pm 2

x_1 = -1 , x_2 = -5

Men hur vet man vad för a man ska använda i kvadreringsregeln? Om vi kollar på kvadreringsregeln igen

(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Så ser vi att vi har a på två ställen i högerledet – vi har termen 2ax och termen a^2. Från förra exemplet såg vi att vi kunde få den konstanta termen i ekvationen att matcha a^2 oavsett vad a är genom att lägga till något tal på båda sidor. Det som bestämmer vad a måste vara är alltså 2ax-termen. I en ekvation x^2 + px + q vill vi alltså sätta a så att px = 2ax, så att x-termen i ekvationen är samma som x-termen i kvadreringsregeln.

---

Exempel: Lös ekvationen x^2 + 8x + 7 = 0

Vi vill använda kvadreringsregeln, och därför behöver vi att x-termen i ekvationen är samma som i kvadreringsregeln. I ekvationen har vi 8x som alltså ska vara lika med 2ax, vilket betyder att  2 a = 8

Om vi delar båda sidor på två får vi a = 4.

Kvadreringsregeln säger då alltså att (x+4)^2 = x^2 + 8 x + 16.

Notera att x-termen blev 8x, vilket var exakt det vi ville ha! Nu ser vi att för att kunna använda kvadreringsregeln i ekvationen så behöver vi att den konstanta termen är 16. För att få den att bli 16 så lägger vi till 9 på båda sidor:

x^2 + 8 x + 7 + 9 = 0 + 9 och alltså x^2 + 8x + 16 = 9.

Nu är vänsterledet av ekvationen samma sak som högerledet i kvadreringsregeln, så vi kan använda kvadreringsregeln baklänges för att få att ekvationen blir (x+4)^2 = 9.

Och härifrån är de igen bara vanlig ekvationslösning. Vi tar kvadratroten ur båda sidor x+4 = \pm 3 och tar minus 4 x = -4 \pm 3 så x_1  = -1 , x_2 = -7

Om x-termen i ekvationen är negativ så kan man använda den andra kvadreringsregeln (x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2

---

Exempel: Lös ekvationen x^2 - 4x + 3 = 0.

Vi ser att x-termen är 4x vilket alltså ska vara lika med 2ax. Alltså har vi att 2a = 4 och därför a = 2.

Detta ger att kvadreringsregeln ger:

(x-2)^2 = x^2 - 4 x + 4.

Vi vill alltså ha att den konstanta termen i ekvationen är 4, vilket vi får om vi lägger till 1 på båda sidor:

x^2 -4x + 3 + 1 = 0 + 1 dvs x^2 - 4x + 4 = 1

Vi kan nu byta ut vänsterledet mot kvadreringsregel vänsterled:

(x-2)^2 = 1.

Och nu har vi igen en form som man kan lösa. Vi tar kvadratroten:

x - 2 = \pm 1 vilket ger x = 2 \pm 1 och alltså lösningarna x_1 = 1, x_2 = 3