Kvadreringsregeln

Vad är första och andra kvadreringsregeln?

Första kvadreringsregeln:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Första kvadreringsregeln säger att när man kvadrerar summan av två termer, det vill säga (a + b)^2, så kan man expandera uttrycket genom att multiplicera varje term med sig själv och sedan addera termerna. Det resulterande uttrycket blir: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Här ser vi att kvadreringen av summan resulterar i tre termer, där den första termen är kvadraten av den första termen, den andra termen är dubbelt produkten av de två termerna och den tredje termen är kvadraten av den andra termen.

Andra kvadreringsregeln:

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Andra kvadreringsregeln däremot används när man kvadrerar differensen av två termer, det vill säga (a – b)^2. Genom att multiplicera och expandera uttrycket får man: (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2. Här ser vi att kvadreringen av differensen också ger tre termer, där den första termen är kvadraten av den första termen, den andra termen är dubbelt negationen av produkten av de två termerna och den tredje termen är kvadraten av den andra termen.

Varför använder man kvadreringsregler?

Kvadreringsreglerna används alltså för att förenkla uttryck som består av kvadraten av en summa. Kvadreringsreglerna ges ofta som två olika regler, en med plus och en med minus. Man skulle kunna betrakta de som samma regel, där man tolkar a-b som a + (-b) och sedan använder plus-varianten av kvadreringsreglerna. Många tycker dock det är lättare att ha två olika regler eftersom man då inte behöver hålla koll på vad som händer med minustecknen.

---

Räkneexempel och förklaringar för kvadreringsreglerna

Exempel: Beräkna (5+3)^2 med kvadreringsregeln.

Svar: 64

Förklaring: Kvadreringsregeln kan användas när vi har ett uttryck på formen (a+b)^2. Det har vi i det här fallet, och vi kan identifiera a=5, b=3. Stoppar vi in det i kvadreringsregel får vi:

(5+3)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3 + 3^2

Vi kan beräkna varje term för sig:

5^2 = 25 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30 3^2 = 9

Stoppar vi tillbaka det i kvadreringsregeln får vi

(5+3)^2 = 25 + 30 + 9 (5+3)^2 = 64

Lägg märke till att man också kan beräkna uttrycket genom att först utföra summan inuti parentesen:

(5+3)^2 = 8^2 = 64

Så vi vet att vi fick rätt svar!

Exempel: Beräkna (3-10)^2 med kvadreringsregeln.

Svar: 49

Förklaring: Den här gången har vi ett uttryck på formen (a-b)^2. Vi kan nu se att a = 3, b = 10. Vi stoppar in det i den andra kvadreringsregeln och får:

(3-10)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 10 + 10^2

Vi beräknar varje term:

3^2 = 9 2 \cdot 3 \cdot 10 = 60 10^2 = 100

Vi stoppar tillbaka det i kvadreringsregeln:

(3-10)^2 = 9 - 60 + 100 (3-10)^2 = 49

---

Exempel: Beräkna (x+4)^2

Svar: x^2 + 8x + 16

Förklaring: Vi vill använda kvadreringsregeln, och ser att uttrycket är på formen (a+b)^2 där a = x och b = 4. Stoppar vi in det i kvadreringsregeln så får vi:

(x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2

Vi förenklar varje term så långt det går:

2 \cdot x \cdot 4 = 8x 4^2 = 16

Vi stoppar tillbaka dessa i kvadreringsregeln:

(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

---

Exempel: Beräkna (3 - 2x)^2

Svar: 4x^2 - 12x + 9

Förklaring: Vi ser att vi har ett tal minus ett annat inuti parentesen, så uttrycket är på formen (a-b)^2. Vi kan nu läsa av att a = 3, b = 2x. Om vi stoppar in det i kvadreringsregeln så får vi:

(3 - 2x)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2x + (2x)^2

Vi vill nu förenkla varje term så mycket som möjligt

3^2 = 9 2 \cdot 3 \cdot 2x = 12 x (2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2

Stoppar vi tillbaka dessa förenklingar i kvadreringsregeln får vi

(3 - 2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2

I sådana här uttryck är det vanligt att ordna termerna så x^2-termen är först, och sedan x-termen, och till sist resten. Då får vi

(3 - 2x)^2 = 4x^2 - 12x + 9

---

Exempel: Beräkna (x^2 + x)^2

Svar: x^4 + 2 x^3 + x^2

Förklaring: Vi vill använda kvadreringsregeln, då vi ser att uttrycket är på formen (a+b)^2. Vi identifierar att a = x^2, b = x. Vi stoppar in det i kvadreringsregeln och får:

(x^2 + x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot x + x^2

Vi förenklar nu varje term:

(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4 2 \cdot x^2 \cdot x = 2 \cdot x^{2+1} = 2 \cdot x^3

Vi kan nu stoppa tillbaka dessa förenklingar i uttrycket:

(x^2 + x)^2 = x^4 + 2 x^3 + x^2