Logaritmlagar

Vad är logaritmlagar?

Logaritmlagar är regler som styr hur logaritmer kan kombineras, förenklas och användas i matematiska beräkningar. Dessa lagar gör det möjligt att lättare hantera och manipulera logaritmiska uttryck.

De tre logaritmlagarna ser ut så här:

$\lg a^b = b \cdot lg a$

$\lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b$

$\lg \left ( \frac{a} {b} \right ) = \lg a - \lg b$

Räkneexempel och förklaringar på logaritmer och logaritmlagar

Exempel: Förenkla $\lg 7^{11}$

Svar: $11\cdot  \lg 7$

Förklaring: När vi vill förenkla ett logaritmuttryck är det alltid bra att kolla om någon av logaritmlagarna går att applicera. I det här fallet så har vi, inuti logaritmen, ett tal upphöjt till ett annat tal och det känner vi igen från en av logaritmlagarna! Den första lagen säger att $\lg a^b = b \cdot lg a$ och där ser vänstersidan ut exakt som den form vi har i uttrycket.

För att förenkla uttrycket med hjälp av logaritmlagen måste vi identifiera vad i uttrycket som är a och vad som är b. Vi ser att $\lg a^b$ stämmer överens med $\lg 7^{11}$ och vi kan då sätta $a=7$ och $b = 11$

Då får vi från logaritmlagen fram att $\lg 7^{11} = 11 \cdot \lg 7$ och där har vi svaret!

Exempel: Förenkla uttrycket $\lg (6x) - \lg 6$

Svar: $\lg x$

Förklaring: Det finns två olika sätt att förenkla detta uttryck beroende på vilken logaritmlag man vill använda. Det ena sättet börjar med att man märker att $\lg (6x)$ liknar formen $\lg (a \cdot b)$, där vi identifierar att $a=6$ och $b = x$. Vi kan då använda logaritmlagen $\lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b$ och får att $\lg (6 x) = \lg 6 + \lg x$.

Om vi stoppar in det i uttrycket i frågan får vi $\lg (6x) - \lg 6 = \lg 6 + \lg x - \lg 6$

Nu har vi ett uttryck som dels har en $\lg 6$-term och även en $-\lg 6$-term. Vi har alltså $\lg 6$ minus sig själv! De två termerna tar då ut varandra:

$\lg 6 + \lg x - \lg 6 = \lg x$.

Kvar blir $\lg x$, vilket är svaret.

Men det finns ett till sätt att förenkla uttrycket! Om vi kollar på uttrycket igen $\lg (6x) - \lg 6$ så kan vi se att vi har en logaritm minus en annan logaritm! Vi borde då kunna använda logaritmlagen $\lg \left ( \frac{a} {b} \right ) = \lg a - \lg b$.

Vi behöver nu identifiera vad som är a och vad som är b vilket vi kan göra genom att se vilken term som är negativ och vilken som är positiv. Eftersom $\lg (6x)$ är den positiva termen ur uttrycket i uppgiften så borde den motsvara den positiva termen i logaritmlagen $\lg a$. Alltså får vi att $a = 6x$. På samma sätt får vi att den negativa termen i uttrycket är $- \lg 6$, motsvarande till $- \lg b$ och därmed att $b=6$. Stoppar vi in det här i logaritmlagen får vi $\lg (6x) - \lg (6) = \lg \left ( \frac{6x} {6} \right )$.

Super! Men vi är inte klara än. Vi kan fortsätta att förenkla uttrycket inuti logaritmen, det vill säga uttrycket $6x/6$. Vi har att x både multipliceras med 6 och delas med 6. Om vi kommer ihåg hur multiplikation och division förhåller sig, så ser vi att dessa två operationer tar ut varandra! Man brukar säga att man stryker 6. Alltså har vi $\frac{6x} {6} = x$.

Stoppar vi tillbaka det i uttrycket så får vi alltså:

$\lg \left ( \frac{6x} {6} \right ) = \lg x$ vilket är samma svar som vi fick med det första sättet! 

---

Exempel: Förenkla uttrycket $\lg (6x) - \lg 6$

Svar: 2

Förklaring: Att beräkna en logaritm för hand är relativt enkelt förutsatt att talet man tar logaritmen av är skriven i formen $10^a$, där a är ett heltal. Detta beror på att $\lg 10^a = a$. Ingen av logaritmerna i denna uppgift har dock denna form och vi kan alltså inte använda det rakt av.

Det vi vill göra då är att skriva om uttrycket med hjälp av logaritmlagar. Då kan vi se till att få den formen vi vill ha! Från uppgiften ser vi att uttrycket består av två logaritmer som ska adderas. Då kan vi använda logaritmlagen $\lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b$

Vi kan se att om vi identifierar $a=20$ och $b=5$ så är uttrycket ur uppgiften samma som högersidan av logaritmlagen. Vi stoppar in dessa värden och får:

$\lg 20 + \lg 5 = \lg (5 \cdot 20)$

Vi kan nu utföra multiplikationen vi har inuti logaritmen:

$\lg (5 \cdot 20) = \lg 100$

Nu har vi en logaritm som vi kan beräkna! Eftersom 100 är samma sak som $10^2$ så har vi att $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$

Alltså är svaret 2.