Större än tecken – Olikheter

Vad är större än och mindre än tecken?

Olikhetstecken får man först lära sig i lågstadiet, där man får veta att < betyder “mindre än” och > betyder “större än”. Nu ska vi kolla på hur man kan använda olikhetstecken med variabeluttryck! Det kan till exempel se ut såhär x > 7, som säger att variabeln x är större än 7. Sådana typer av uttryck är väldigt användbara när man vill sätta begränsningar på ett värde. Om vi till exempel vill att en inomhustemperatur ska vara mellan 20°C och 23°C så kan vi skriva 20°C < temperatur < 23°C. Med hjälp av olikhetstecken har vi nu uttryckt att inomhustemperaturen ska vara ”större än” 20°C men ”mindre än” 23°C!

Oftast vill vi ha variabeln ensam på ena sidan av en olikhet. Är variabeln inte ensam måste vi lösa olikheten. Detta gör vi nästan precis som vanlig ekvationslösning, förutom att när man delar eller multiplicerar båda sidor med något negativt så vänder sig olikheten: < blir till > och > blir till <.

Vilka olikhetstecken finns det?

Mindre än tecken (<): Det vänstra talet eller uttrycket är mindre än det högra talet eller uttrycket. Till exempel, 5 < 8 betyder att 5 är mindre än 8.

Större än tecken (>): Det vänstra talet eller uttrycket är större än det högra talet eller uttrycket. Till exempel, 10 > 3 betyder att 10 är större än 3.

Mindre än eller lika med (≤): Det vänstra talet eller uttrycket är antingen mindre än eller lika med det högra talet eller uttrycket. Till exempel, x ≤ 4 betyder att x är antingen mindre än eller lika med 4.

Större än eller lika med (≥): Det vänstra talet eller uttrycket är antingen större än eller lika med det högra talet eller uttrycket. Till exempel, y ≥ 5 betyder att y är antingen större än eller lika med 5.

Inte lika med (≠): Det vänstra talet eller uttrycket inte är lika med det högra talet eller uttrycket. Till exempel, 6 ≠ 9 betyder att 6 inte är lika med 9.

Räkneexempel och förklaringar för större än tecken och olikhetstecken

Exempel 1: Lös olikheten x + 3 > 6

Svar: x > 3

Förklaring: Vi kan lösa den här väldigt likt hur vi skulle lösa en ekvation. Vi vill ha x ensamt, så vi tar bort 3 från båda sidor av olikheten för att uppnå det:

x + 3 - 3 > 6 -3

Vänstersidan förenklas till x + 3 - 3 = x

och högersidan förenklas till 6-3 = 3

Då blir svaret x > 3.

Låt oss ta en titt på hur detta kan tolkas. Uppgiften kan läsas som “för vilka x gäller det att x+3 är större än 6?” och nu har vi kommit fram till att svaret på den frågan är “alla x som är större än 3”. Vi kan även visualisera lösningen genom att markera alla tal som är större än 3 på tallinjen:

Exempel 2: Lös olikheten -2x + 3 < 7

Svar: x>-2.

Förklaring: Denna får vi vara lite försiktiga med! Vi kan börja som vanligt, med att ta bort 3 på båda sidor:

-2x + 3 - 3 < 7-3 

Vilket förenklas till -2x < 4.

Nu får man se upp! Nästa steg i lösningen är att dela båda sidor på -2. Det som är speciellt med olikheter är att när man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal, så vänds olikhetstecknet åt andra hållet. Det vill säga, < blir till > och > blir till <. Vi får då \frac{-2x}{-2} > \frac{4}{-2}.

Där < tecknet har bytts ut mot ett >-tecken. Vi förenklar och får att x > -2. Låt oss även visualisera denna  lösning på tallinjen:

---

Exempel 3: Lös olikheten 3 < x + 2 < 10 - x

Denna uppgift ser kanske lite mer komplicerad ut, men det man måste inse är att

3 < x + 2 < 10 - x

egentligen är två olikheter. Det första olikhetstecknet säger att

3 < x + 2

och det andra olikhetstecknet säger att

x + 2 < 10 - x.

Olikheten i uppgiften frågar då vilka x som uppfyller båda olikheterna! Vi börjar med första olikheten

3 < x+2 .

Vi vill ha bort tvåan från högersidan så vi tar minus 2 på båda sidor vilket ger

3 - 2< x+2-2 .

Och alltså 

1 < x .

Nu har vi fått fram lösningen till ena olikheten. Nu löser vi den andra olikheten

x + 2 < 10 - x.

Vi börjar med att samla x-termerna genom att ta plus x på båda sidor:

x + 2 + x < 10 - x +  x

vilket förenklas till

2x + 2 < 10 .

Vi gör oss nu av med +2-termen i vänsterledet genom att ta bort 2 från båda sidor

2x + 2 -2 < 10-2 .

Som blir

2x < 8 .

Sist men inte minst vill vi få bort tvåan framför x genom att dela båda sidor med 2. Den här gången ska vi inte vända på olikhetstecknet, eftersom det är något som bara händer när vi delar med något negativt. Den här gången delar vi på ett positivt tal, så olikhetstecknet ändras inte. Så vi får

\frac{2x}{2} < \frac{8}{2}

som blir

x < 4.

Nu har vi fått fram lösningen till den andra olikheten.

Som anmärktes förut så är lösningen till uppgiften alla x som uppfyller både den första olikheten och den andra olikheten. Alltså är svaret alla x som både uppfyller

1 < x

och 

x < 4.

Detta kan då sammanfattas genom att slå ihop olikheterna 

1 < x < 4

vilket är svaret. I det här fallet är x alltså både begränsat nerifrån och uppifrån. Om vi ritar ut lösningen på tallinjen så ser det ut så här: