Tangens

Vad är tangens?

Tangens används tillsammans med cosinus och sinus i en rätvinklig triangel inom trigonometri. Tangensfunktionen beskriver sambandet mellan en vinkel, dess motstående katet och dess närliggande katet i en rätvinklig triangel:

tan\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{n\"arliggande\;katet}

Alternativt kan vi beskriva tangens med sambandet tan\;v=\frac{sin\;v}{cos\;v}.

Det är denna relation mellan en vinkel, dess motstående katet och dess närliggande katet som vi kommer gå igenom i det här avsnittet.

För varje vinkel v finns ett visst värde på tangens. Detta värde är alltså lika med längden av vinkelns motstående katet delat på längden av dess närliggande katet. Värdet av tangens vid en viss vinkel får vi lättast fram med hjälp av vår miniräknare.

Om vi har värdet på vinkeln v och antingen den motstående kateten eller den närliggande kateten så kan vi ta reda på längden av den återstående kateten med hjälp av tangens.

tan\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{n\"arliggande\;katet}

Nedan ser vi ett exempel på hur vi kan använda tangens för att bestämma längden av en sida i en rätvinklig triangel.

Räkneexempel för tangens

Exempel: Bestäm längden av sidan x. Svara i decimeter (dm). Avrunda till en decimal.

Svar: 2,3\;dm

Lösning: Vi har värdet på en vinkel, som är 35^\circ, och längden av en katet, som är 3,3\;dm. Sett utifrån den 35-gradiga vinkelns perspektiv är kateten med längden 3,3\;dm en närliggande katet. Den obekanta sidan, x, är en motstående katet sett från vinkelns perspektiv.

Vi använder oss av tangens eftersom vi vet vinkeln och längden av den närliggande kateten, men vill ta reda på längden av den motstående kateten.

tan\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{n\"arliggande\;katet}

Vi sätter in värdena för vår vinkel och den närliggande kateten. Vi ersätter även den motstående kateten med x.

tan\;35^\circ=\frac{x}{3,3}

Vi vill att x ska stå ensamt i höger led. Därför vill vi flytta över nämnaren i höger led, alltså 3,3, till vänster led. Vi gör detta genom att multiplicera båda sidor med 3,3.

{tan\;35^\circ}\cdot{3,3}={\frac{x}{3,3}}\cdot{3,3} {tan\;35^\circ}\cdot{3,3}=x

Nu bestämmer vi värdet av tan\;35^\circ med hjälp av vår miniräknare. 

tan\;35^\circ\approx0,70021

Vi sätter in värdet av tan\;35^\circ i ekvationen x={tan\;35^\circ}\cdot{3,3}.

x={0,70021}\cdot{3,3}= 2,31068\;dm

Vi avrundar till en decimal och får att sidan x har längden 2,3\;dm.

---

När man bestämmer tangens för vinkeln v är oftast det smidigaste att använda tangensfunktionen på vår miniräknare, men det behöver vi inte. Tangens har nämligen ett exakt värde för vissa vinklar som vi kan använda istället. Nedan ser du några exakta värden för tangens.

tan\;0^\circ=0 tan\;30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}} tan\;45^\circ=1 tan\;60^\circ=\sqrt{3}

Nedan ser vi ett exempel på hur vi kan använda det exakta värdet för tangens när vi bestämmer längden av en sida.

---

Exempel: Bestäm längden av sidan x. Svara i centimeter (cm).

Svar: 8\;cm

Lösning: Vi har värdet på en vinkel, som är 45^\circ, och längden av en katet, som är 8\;cm. Sett utifrån den 45-gradiga vinkelns perspektiv är kateten med längden 8\;cm en motstående katet. Den obekanta sidan, x, är en närliggande katet sett från vinkelns perspektiv.

Vi använder oss av tangens eftersom vi vet vinkeln och längden av den närliggande kateten, men vill ta reda på längden av den motstående kateten.

tan\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{n\"arliggande\;katet}

Vi sätter in värdena för vår vinkel och den motstående kateten. Vi ersätter även den närliggande kateten med x.

tan\;45^\circ=\frac{8}{x}

Vi vill att x ska stå ensamt på sin sida om likamedtecknet, men vi vill först se till att kvoten i höger led försvinner. Därför multiplicerar vi båda leden med x, vilket gör så att x flyttas över från nämnaren i höger led till vänster led.

{tan\;45^\circ}\cdot{x}={\frac{8}{x}}\cdot{x} {tan\;45^\circ}\cdot{x}=8

Vi ser nu att det blir lättast att isolera x i vänster led eftersom vi kan uppnå detta genom att dela båda sidor med tan\;45^\circ.

\frac{{tan\;45^\circ}\cdot{x}}{tan\;45^\circ}=\frac{8}{tan\;45^\circ} \frac{8}{tan\;45^\circ}=x

Nu behöver vi endast bestämma ett värde på uttrycket \frac{8}{tan\;45^\circ}. Vi börjar med att hitta värdet för tan\;45^\circ. 

Vi ser i tabellen ovanför exemplet att tan\;45 har ett exakt värde som är lika med 1. Vi ersätter tan\;45 med 1 i ekvationen.

x=\frac{8}{1}

Vi beräknar nu värdet av kvoten \frac{8}{1} i höger led.

x=\frac{8}{1}= 8\;cm

---

Om vi har värdet på de två kateterna i en rätvinklig triangel, så kan vi ta reda på värdet av en av vinklarna genom att använda den inversa tangensfunktionen. Den inversa tangensfunktionen skrivs som tan^{-1} eller arctan.

Precis som med den vanliga tangensfunktionen så finns den inversa tangensfunktionen inprogrammerad i din miniräknare.

Om vi har en ekvation där vi vill ta reda på vinkeln v, som exempelvis tan\;v=\sqrt{3}, så kan vi lösa den genom att ta den inversa funktionen av tangens på båda sidorna. 

tan\;v=\sqrt{3} tan^{-1}(tan\;v)=tan^{-1}\sqrt{3}

Termerna tan^{-1} och tan tar ut varandra i vänster led. Kvar blir vinkeln v. 

v=tan^{-1}\sqrt{3}

Vi behöver nu endast bestämma värdet av uttrycket i höger led, tan^{-1}\sqrt{3}, vilket vi gör med vår miniräknare.

v=tan^{-1}\sqrt{3}= 60^\circ

Vi får att vinkeln v är ungefär 60^\circ.

---

Exempel: Beräkna värdet av vinkeln v. Svara i hela grader.

Svar: 52^\circ

Lösning: Vi har längden av en motstående katet, som är 2,3\;mm, och en närliggande katet, som är 1,8\;mm. 

Vi vet alltså den motstående kateten och närliggande kateten, men inte vinkeln. Vi kan därmed använda tangens för att bestämma vinkeln v.

tan\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{n\"arliggande\;katet}

Vi sätter in längderna av den motstående kateten och närliggande kateten i sambandet.

tan\;v=\frac{2,3}{1,8}

Vi vill att v ska stå ensamt i vänster led, alltså vill vi flytta över tangens från vänster led till höger led. Vi använder därför den inversa tangensfunktionen, som skrivs tan^{-1}, på båda sidor. 

tan^{-1}(tan\;v)=tan^{-1}\frac{2,3}{1,8}

Termerna tan^{-1} och tan tar ut varandra i vänster led. Kvar blir vinkeln v. 

v=tan^{-1}\frac{2,3}{1,8}

Vi beräknar nu värdet av tan^{-1}\frac{2,3}{1,8} på vår miniräknare.

v=tan^{-1}\frac{2,3}{1,8}\approx 51,95^\circ

Vi avrundar till hela grader och får att vinkeln v är 52^\circ.